Quaderno a quadretti

I polimini di Solomon W. Golomb

Un semplice foglio a quadretti è il punto di partenza per scoprire un universo di figure davvero ricco dalle quali si possono ricavare molti giochi divertenti e numerosi rompicapo. Un foglio come quello che aveva davanti a sé Solomon W. Golomb, nel 1953 quando, giovane studente di Harvard, per superare la noia di una lezione poco interessante, incominciò a tracciare una serie di figure che avevano il quadretto come punto di partenza.

Da bravo matematico, tentò poi di classificarle, cercando di stabilire quante figure diverse fosse possibile costruire con un quadretto, con due, tre, quattro quadretti e così via, stabilendo però una regola precisa: i quadretti che componevano le varie figure dovevano avere almeno un lato in comune e si dovevano considerare equivalenti tutte quelle che potevano essere sovrapposte con un movimento qualsiasi.

Golom chiamò polimini le figure così ottenute. In particolare, battezzò monomino il quadretto base. duomino l'unica figura che si puà costruire con due quadretti, trimini quelle formate da tre quadretti, tetramini quelle di quattro quadretti, pentamini di cinque e così via, sempre tenendo presente la regola che i quadretti devono avere almeno un lato in comune e che si devono escludere le figure equivalenti.

Egli presentò all'Harvard Mathematics Club il suo gioco, che divenne ben presto molto popolare fra gli studenti.

Fu poi Martin Gardner, il massimo esperto in giochi matematici, a rilanciarlo in tutto il mondo attraverso le sue pagine di Scientific American.

I polimini sono figure geometriche piane composte da un numero finito di quadrati uguali che devono avere in comune con un altro quadrato almeno un lat0

monomino

domino

trimino

tetramino

pentamino

esaminoo

Polimini e didattica della geometria

I polimini risultano interessanti per l'insegnante che può proporre attività di geometria, basata soprattutto sullo studio e sull'applicazione di proprietà delle figure, quasi priva di numeri e di formule.

Attività con i pentamini

Lo scopo dell’attività è quello di confrontare contorni e superfici dei pentamini, ossia figure geometriche realizzate dall'unione di cinque quadrati congruenti connessi tra di loro lungo un lato.

Parole chiave
Figure piane, area, perimetro.

FASE 1: Costruzione di tutti i pentamini, che saranno dodici.

FASE 2: Area dei pentamini.

Confronto delle superfici dei pentamini per scoprire se essi sono equiestesi o meno. Essendo tutte le figure composte da cinque quadrati congruenti, i pentamini sono quindi tutti equiestesi.

FASE 3: Perimetro dei pentamini.

Confronto dei perimetri dei pentamini per verificare se essi sono isoperimetrici o meno. Le figure non sono tutte isoperimetriche. Il perimetro è tanto maggiore quanti meno sono i lati dei quadrati che combaciano tra loro.

FASE 4: Confronto tra area e perimetro dei pentamini

Uguale area non comporta uguale perimetro e, in generale, si possono ottenere coppie di figure che hanno stessa area e perimetro minore, maggiore e uguale.

FASE 5:Tassellazioni

Può essere interessante utilizzare i pentamini per tassellare dei rettangoli di dimensione 6x10, 5x12, 4x15, 3x20 quadretti. L’area totale dei 12 pentamini è di 60 quadretti e coincide con l’area del rettangolo da tassellare.

Altre attività

Pavimentazioni che saturano il piano sono facilmente ottenibili con monomini, duomini, trimini e tetramini, ma ci sono già tre pentamini che per saturare il piano devono essere accoppiati necessariamente con altri pentamini equivalenti ruotati di 180° rispetto al pentamino di partenza. Anche alcuni degli esamini devono essere accoppiati con altri congruenti ruotati di 180°.

Il passaggio dalla geometria piana alla geometria solida può essere molto utile nella didattica della geometria. Alcuni esamini rappresentano sviluppi del cubo. Ci si può domandare quali polimini ritagliati e piegati possono essere utilizzati per costruire questo solido. L'esercizio prevede quindi l'individuazione degli esamini per verificare quali di essi rappresentano i cosiddetti “sviluppi veri” del cubo. Gli esamini sono 35, 11 di essi sono sviluppi del cubo.

Giochi

La fama dei polimini è legata al numero straordinario di giochi collegati ad essi. Basti pensare all'uso dei pentamini “rettangolabili” di cui esistono migliaia, o forse più soluzioni diverse (che si prestano cioè ad essere assemblati in varie figure rettangolari). Alcuni rettangoli presentano poche o pochissime soluzioni e sono difficilissimi da eseguire altri invece come detto sopra, ne offrono moltissime anche se richiedono per essere risolti molto spesso alcune decine di minuti di lavoro.

Rettangolo 6x10 costruito con i dodici pentamini. Ci sono 2.339 modi diversi di mettere i dodici pentamini in una simile forma.

Ci sono due soluzioni per il rettangolo 3x20

Nel rettangolo 5x12 sono state trovate 1.010 soluzioni

Nel rettangolo 6x10 2.339 soluzioni

368 soluzioni nel rettangolo quattro per quindici

Un altro gioco, questa volta di strategia, consiste nel ricoprire, con i dodici pentamini, una scacchiera 8 x 8. Poiché i polimini possono ricoprire soltanto 60 quadretti ne rimarranno naturalmente quattro vuoti in posizioni diverse, raggruppati o separati. A turno, due giocatori scelgono poi un pentamino, collocandolo a piacere sulla scacchiera. Perde il giocatore che non riesce più a collocare un pezzo senza che vada a sovrapporsi agli altri

Non si è ancora a conoscenza della legge che collega il numero di quadretti di partenza al numero dei polimini corrispondenti.

Si possono pensare anche altre situazioni parallele dove al posto dei quadratini ci sono altre figure come il triangolo equilatero, l'esagono regolare o altre che possono generare interessanti strutture.

I dodici pentamini

Per identificarli possiamo collegarli alle

lettere dell'alfabeto più vicine alla loro forma

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