Frattali e geometria    

I frattali, con le loro forme misteriose e i loro splendidi colori, suscitano la nostra meraviglia e ci affascinano per la loro bellezza.

Ma che cosa sono è in realtà i frattali?

La definizione più semplice e intuitiva li descrive come figure geometriche caratterizzate dal ripetersi  all'infinito di uno stesso motivo, su scala sempre più ridotta. Ciò significa che, ingrandendo la figura, si otterranno forme ricorrenti e ad ogni ingrandimento essa rivelerà nuovi dettagli.
Contrariamente a qualsiasi altro oggetto geometrico, un frattale, invece di perdere i dettagli quando viene ingrandito, si arricchisce di nuovi particolari, nuove forme prima invisibili solo perchè troppo piccole.
In molti frattali questi particolari, che si vanno man mano scoprendo, assomigliano alla figura nella sua totalità (autosimilarità o autosomiglianza : una parte dell'oggetto è simile al tutto).
In geometria gli oggetti che sono autosimili vengono definiti frattali e possono essere costruiti seguendo precise regole di tipo matematico.
La geometria frattale è di recente concezione,i primi studi sono quelli di G. Julia all’inizio del secolo scorso.
Solo con l’avvento dei calcolatori, che hanno offerto la necessaria potenza di calcolo, si è potuti giungere alle  affascinanti immagini generate dalle formule.
Negli anni ottanta, si è sviluppata una branca della geometria frattale che studia i cosiddetti frattali biomorfi, cioè simili ad oggetti presenti in natura.
Uno dei frattali biomorfi più riuscito è la foglia di felce, i cui dettagli riproducono sempre la stessa figura.
In matematica, l'atteggiamemto corrente è quello di considerare frattale un insieme (F) che abbia proprietà simili alle quattro elencate:
1)  Autosimilarità: F è unione di un numero di parti che, ingrandite di un certo fattore, riproducono tutto  F; in altri termini F è unione di copie di se stesso a scale differenti.
2)  Struttura fine: F rivela dettagli ad ogni ingrandimento.
3) Irregolarità: F non si può descrivere come luogo di punti che soddisfano semplici condizioni geometriche o analitiche.
4) Dimensioni di autosimilarità > della dimensione topologica: anche se i frattali possano essere rappresentati in uno spazio convenzionale a due o tre dimensioni, la loro dimensione non è intera (dal latino fractus). In effetti la lunghezza di un frattale "piano" non può essere misurata definitamene, ma dipende strettamente dal numero di iterazioni al quale si sottopone la figura iniziale.
Gli insiemi di Mandelbrot e di Julia costituiscono le due principali famiglie di frattali che possono venire rappresentati, sulla base delle regole scoperte dai due matematici Mandelbrot e Julia.

".....Perchè la geometria viene spesso definita fredda e arida? Uno dei motivi è la sua incapacità di descrivere la forma di una nuvola, di una montagna, di una linea costiera, di un albero. Osservando la natura vediamo che le montagne non sono dei coni, le nuvole non sono delle sfere, le coste non sono cerchi, ma sono degli oggetti geometricamente molto complessi...."

 

                              Benoit Mandelbrot                    " Gli oggetti frattali"

 

 

 

 "La simmetria nei frattali" (per una visione a schermo intero tasto F 11)

Per approfondire:

http://www.frattali.it/

Interessantissimo studio sulle trasformazioni geometriche e di geometria frattale.

 

http://www.webfract.it/

Teoria del caos e oggetti frattali.